科普：定律、定理、公理、定义
欧式几何五公设和五定理，大多数人都有所耳闻。先解释一下公设和定理的概念。
所谓公理或公设，就是“不证自明”的命题，是一个演绎系统中，不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题。公理或是公设是一门学科中的基础，必须依赖于它，学科大楼才能拔地而起。
而定理相较于公设就要弱一些，只是已经证明了的具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，比如几何定理。
《几何原本》中的5公设：
1. 由任意一点到任意一点可作直线。
2. 一条有限直线可以继续延长。
3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
4. 凡直角都相等。
5．若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
五公设推出五条定理，五定理表述更加简单明了，分别是“等于同量的量彼此相等”、“等量加等量，其和仍相等”、“等量减等量，其差仍相等”、“彼此能够重合的物体是全等的”、“整体大于部分”。
在这五条公设中，前四条是简单明了，第五条就显得啰嗦了不少，结论也没那么显然易见。细心的学者发现，在《几何原本》中，欧几里得直到第二十九条命题才使用第五公设，也就是说，不依靠第五公设就已经能推出前二十八个命题了。而且二十九命题之后也没使用过第五公设。如此看来，将其置于公设的位置未免有些浪费，能不能降个档次，作为定理使用呢？
这就是几何史上著名的“平行线理论”，这一争议持续了很久，长达两千多年，并引出了非欧几何学这一门分支。顾名思义，非欧几何自然指的是一切和欧几里得几何不同的几何学，通常意义下，指的是罗氏几何和黎曼几何这两种。狭义意义下，非欧几何即罗氏几何。
罗氏指的是俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基，对于颇具争议的第五公设，他兴趣很浓，一直想给出合理的证明，他另辟蹊径，选择了另一条路子，利用了反证法的思想去证明：先是提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用其代替第五公设，和前四个公设一起成为一个新的公理系统，并进行了一系列的推理。如果证明过程中出现了矛盾，那就说明第五条公设是正确的。