典型相关分析的数学描述

假设有两个随机变量组 XX 1 , X 2 ,…, X p ′ 和 Y Y1 , Y2 ,…, Yq ′ ，我们不妨设 p ≤ q 。 对于X , Y ,设第一组变量的均值和协方差矩阵为 EX 1 Cov X ∑ 11 第二组变量的均值和协方差矩阵为 EY 2 Cov Y ∑ 22 第一组之间的差值而第二组变量的协方差矩阵为 Cov XY ∑ 12 ∑ 21 X 因此对于矩阵 Z 有 (9—1—1) YEX 1 均值向量 EZE (9—1—2) EY 2 ′ 协方差矩阵 ∑ EZZ pq × pq EXX ′ ′ EX 1 Y 2 1 1 EYX ′ ′ EY 2 Y 2 2 1 ∑ 11 ∑ 12 p× pp×q ∑ 21 ∑ 22 q× pq× q 两组变量 X 1 , X 2 ,…, X p 与 Y1 , Y2 ,…, Yq 之间的相关性。

sps典型相关分析案例

先对两组变量做线性组合，即 U a1 X 1 a 2 X 2 L ap X pa ′XV b1Y1 b2Y2 L bq Yq b ′Y a a1 a 2 L ap , b b1 b2 L bq 为任意非零常系数向量，则' '可得， Var U a ′ Cov X aa ′ ∑ 11 a Var V b ′ Cov Y bb ′ ∑ 22 b Cov UV a ′ Cov XY ba ′ ∑ 12 b 则 U 和V 称为典型变量，它们之间的相关系数 ρ 称为典型相关，即 a ′∑ 12 b ρ Corr UV a ′∑ 11 ab ′∑ 22 b 典型相关分析的研究问题是如何选择最优的典型变量的线性组合。

选取原则是：在所有使U 1 a ′ X 1 1 1 的线性组合U和V中，选取典型相关系数最大的U和V，即选取a和b之间的相关系数与V1 b ′ Y达到最大值（在所有U和V中） 1 2 2 ，然后选择a和b使得U 2 a ′ 2 X和V2 b′ 2Y之间的相关系数在不相关的U和V中最大U 1 和V1，继续往下走，直到所有线性组合U p , p 分别与U 1 U 2 LU p 1 和V1 V2 LV p 1 无关。

V此时p等于变量X和Y之间的协方差矩阵的秩。典型变量U 1 和V1，U 2 和V2 ... U p 和V p 根据它们的相关性成对提取系数，直到分解出两组变量之间的相关性。

16种常用数据分析方法总结

1.描述性统计

描述性统计是指用制表分类、图形和汇总数据来描述数据的集中趋势、离散趋势、偏度和峰度的方法。

1、缺失值填充：常用方法：淘汰法、均值法、最小邻域法、比率回归法、决策树法。

2.正态性检验：很多统计方法要求数值服从或近似服从正态分布，所以之前需要进行正态性检验。 常用方法：非参数检验的K量检验、PP图、QQ图、W检验、动态差分法。

2. 假设检验

1、参数检查

参数检验是在已知总体分布（一般要求总体分布服从正态分布）的条件下，对一些主要参数（如均值、百分比、方差、相关系数等）进行检验。

1）U检验的使用条件：样本量n较大时，样本值服从正态分布

2）T检验使用条件：当样本量n较小时，样本值符合正态分布

A - t-test：推断样本所来自的总体均值μ是否与已知的总体均值μ0（通常是理论值或标准值）不同；

B 配对样本t检验：当总体均值未知，两个样本可以配对时，同一对中的两个样本在可能影响治疗效果的各种条件上是相似的；

C 两个独立样本t检验：当两个样本在各方面都极其相似而无法找到配对比较时使用。

2.非参数检验

非参数检验不考虑整体分布是否已知，往往不是针对整体参数，而是针对整体的一些一般假设（如整体分布的位置是否相同，整体分布是否相同）是正常的）。

适用条件：时序数据，这类数据的分布一般是未知的。

A 虽然是连续数据，但总体分布未知或非正态分布；

B体分布虽然呈正态分布，数据连续，但样本量极小，比如不到10个；

主要方法有：卡方检验、秩和检验、二项式检验、游程检验、K-量检验等。

三、可靠性分析

检查测量的可靠性，例如问卷的真实性。

分类：

1. 外部信度：量表在不同时间测量时的一致性程度，常用方法的重测信度

2. 内在可靠性； 每个量表是否测量单个概念，同时组成两个量表的内部主体项目的一致性，常用方法分为半信度。

4.列联表分析

用于分析离散变量或训练变量之间是否存在相关性。

对于二维表，可以进行卡方检验，对于三维表，可以进行分层分析。

列联表分析还包括配对计数数据的卡方检验和等级和列变量的相关检验。

5.相关分析

研究现象之间是否存在一定的依存关系，针对具有依存关系的具体现象探索相关方向和相关程度。

1.单相关：两个因素之间的相关称为单相关，即研究中只涉及一个自变量和一个因变量；

2、复杂相关：三个或三个以上因素的相关称为复杂相关，即研究中涉及两个或两个以上的自变量和因变量之间的相关；

3、偏相关：当某种现象与多种现象相关时，在假定其他变量不变的情况下，两个变量之间的相关称为偏相关。

6.方差分析

使用条件：每个样本必须是独立的随机样本； 每个样本都来自正态分布的总体； 每个总体方差相等。

分类

1、单因素方差分析：当一个实验只有一个影响因素时，或有多个影响因素时，只分析一个因素与响应变量的关系

2、多因素交互方差分析：一个实验中有多个影响因素，分析多个影响因素与响应变量之间的关系，同时考虑多个影响因素之间的关系

3. 多因素非交互方差分析：分析多个影响因素与响应变量之间的关系，但影响因素之间不存在影响关系或影响关系被忽略

4、协方差分析：传统的方差分析存在明显的缺点，分析中的一些随机因素无法控制，影响了分析结果的准确性。 协方差分析主要是在排除协变量的影响后，对修正后的主效应进行方差分析。 它是一种结合了线性回归和方差分析的分析方法。

七、回归分析

分类：

1、单一线性回归分析：只有一个自变量X与因变量Y相关，X和Y必须是连续变量，因变量y或其残差必须服从正态分布。

2、多元线性回归分析

使用条件：分析多个自变量与因变量Y的关系，X和Y必须是连续变量，因变量y或其残差必须服从正态分布。

1）变量筛选法：选择最优回归方程的变量筛选法有全水平法（CP法）、逐步回归法、前向引入法和后向剔除法

2）横向诊断法：

A 残差检验：观察值和估计值之间的差异必须服从正态分布

B.强影响点判断：搜索方法一般分为标准误差法和距离法

C 共线性诊断：

诊断方法：公差、方差扩展因子法（又称扩展系数VIF）、特征根确定法、条件指数CI、方差比

处理方法：增加样本量或选择其他回归如主成分回归、岭回归等。

3、回归分析

线性回归模型要求因变量为连续正态分布变量，且自变量与因变量呈线性相关，而回归模型则不需要因变量的分布，一般用于因变量时是离散的

分类：

回归模型可分为条件回归模型和非条件回归模型。 条件回归模型与非条件回归模型的区别在于是否使用条件概率进行参数估计。

4.其他回归方法非线性回归、有序回归、回归、加权回归等。

八、聚类分析

根据样本个体或指示变量的特征对样本个体或指示变量进行分类，找到合理的统计量来衡量事物的相似性。

一、性质分类：

Q型聚类分析：对样本进行分类，也称为样本聚类分析，用距离系数作为衡量相似性的统计量，如欧式距离、极值距离、绝对距离等。

R型聚类分析：对指标进行分类，也称为指标聚类分析，以相似系数作为统计量来衡量相似性、相关系数、权变系数等。

2、方法分类：

1）系统聚类方法：适用于小样本的样本聚类或指标聚类。 一般采用系统聚类的方法对指标进行聚类，也称为层次聚类

2）逐步聚类方法：适用于大样本的样本聚类

3）其他聚类方法：两步聚类、K均值聚类等。

九、判别分析

1. 判别分析：根据掌握的一批分类良好的样本建立判别函数，使误判的情况最小化，然后对于给定的新样本，判断它来自于哪个种群

2、与聚类分析的区别

1）聚类分析可以对样本和指标进行分类； 而判别分析只能对样本进行分类

2）聚类分析事先并不知道事物的类别，也不知道它分为多少类； 而判别分析必须事先知道事物的类别，也知道它分为多少类

3）聚类分析不需要分类历史数据，直接对样本进行分类； 而判别分析需要分类的历史数据建立判别函数，然后再对样本进行分类

3、分类：

1）判别分析法：

以距离为判别准则进行分类，即样本与类之间的距离最短的类将被分到哪个类中，适用于二类判别；

分类是以概率为准则，即样本属于哪一类的概率最大，属于哪一类。 它适用于

适用于多类判别。

2）BAYES判别分析法：

BAYES判别分析法比判别分析法更完善、更先进。 既可以解决多类判别分析，又可以在分析时考虑数据的分布，所以一般用的比较多；

10.主成分分析

将一组相关指标转化为一组独立的新指标变量，用少数新指标变量综合原多个指标变量所包含的主要信息。

11.因素分析

一种多元方法，旨在发现隐藏在多元数据中，无法直接观察但影响或支配可测量变量的潜在因素，并估计潜在因素对可测量变量的影响程度以及潜在因素之间的相关性统计分析方法

与主成分分析比较：

相同：两者都可以起到管理多个原始变量内部结构关系的作用

不同：主成分分析侧重于综合原始自适应信息。 因子分析着重于解释原始变量之间的关系，是一种比主成分分析更深入的多元统计方法

使用：

1）减少分析变量的数量

2）通过检测变量之间的相关性对原始变量进行分类

12.时间序列分析

动态数据处理的统计方法，研究随机数据序列所遵循的统计规律，解决实际问题； 时间序列通常由四种要素组成：趋势、季节变化、周期波动和不规则波动。

主要方法：移动平均滤波和指数平滑法、ARIMA水平型、定量ARIMA水平型、模型、自回归水平型、ARCH家族模型

13.生存分析

一种用于研究生存时间分布及生存时间与相关因素关系的统计分析方法

1. 包含：

1）描述生存过程，即研究生存时间的分布

2）比较生存过程，即研究两组或多组生存时间的分布，并进行比较

3）分析风险因素，即研究风险因素对生存过程的影响

4）建立数学模型，即用数学公式表达生存时间与相关危险因素之间的依赖关系。

2、方法：

1）统计描述：包括生存时间的分位数、中位生存期、平均数、生存函数的估计、判断生存时间的图解法，对分析数据不做统计推断结论

2）非参数检验：检验分组变量各水平对应的生存曲线是否一致，对生存时间的分布没有要求，检验危险因素对生存时间的影响。

A 乘法极限法（PL法）

B 寿命表法（LT法）

3）半参数水平回归分析：在特定假设下，建立生存时间随多危险因素变化的回归方程。 该方法以Cox比例风险回归分析法为代表

4）参数模型回归分析：当已知生存时间服从特定参数水平模式时，拟合相应的参数模型更准确地分析和确定变量间的变化规律

14.典型相关分析

相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学业能力指标和5个学业成绩指标）之间相关性的统计分析方法。

典型相关分析的基本思想类似于主成分分析，将研究一组变量与另一组变量之间的多重线性相关转化为简单的几对综合变量之间的线性相关。 而这几对变量所包含的线性相关信息几乎涵盖了原变量组所包含的所有对应信息。

15. ROC 分析

R0C 曲线基于一系列不同的二元分类方法（截止值或决策阈值）。 以真阳性率（灵敏度）为纵坐标，假阳性率（1-特异度）为横坐标绘制曲线

使用：

1、R0C曲线可轻松检测任意阈值的疾病识别能力

使用

2. 选择最佳诊断截止值。 ROC曲线越靠近左上角，测试的准确率越高；

3. 两种或多种不同诊断试验对疾病鉴别能力的比较，一般用ROC曲线下面积来反映诊断系统的准确性。

十六、其他分析方法

多重响应分析、距离分析、项目分析、对应分析、决策树分析、神经网络、方程组、蒙特卡洛模拟等。

论文数据分析方法有哪些

论文采用了三种数据方法：多项选择研究、聚类分析和权重研究。

1、选择题的研究：选择题的分析可以分为四种：选择题、单选-多选、多选-单选、多选-多项-选择。

2. 聚类分析：聚类分析以多个研究题目为基准，对样本对象进行分类。 如果是按样本聚类，使用高级方法模块中的“聚类”功能，系统会自动识别是使用K-means聚类算法还是K-算法。

3、权重研究：权重研究用于分析综合系统中各个因素或指标的重要性，最终构建权重体系。 权重研究的方法很多，包括：因子分析、熵权法、AHP、模糊综合评价、灰色关联等。

扩展信息：

1.回归分析

在实际问题中，经常会遇到需要同时考虑几个变量的情况，比如一个人的身高与体重、血压与年龄的关系。 它们之间的关系错综复杂，无法准确研究，以至于它们的关系无法用函数形式来表达。 为了研究这类变量之间的关系，需要通过大量的实验观察来获取数据，并用统计的方法来寻找它们之间的关系，这种关系反映了变量之间的统计规律。 其中一种统计方法是回归分析。

最简单的是一元线性回归，它只考虑一个因变量y和一个自变量x之间的关系。 例如，如果我们要研究一个人的身高和体重之间的关系，我们需要收集大量不同人的身高和体重数据，然后建立一个单变量线性模型。 接下来需要对未知参数进行估计，这里可以使用最小二乘法。 最后对回归方程进行显着性检验，验证y是否随x线性变化。 这里，我们通常使用t检验。

2.方差分析

在实际工作中，影响一件事的因素有很多，人们希望通过实验观察各种因素对实验结果的影响。 方差分析是研究一个或多个因素的变化是否对实验结果的观测值产生显着影响，从而找出更好的实验条件或生产条件的一种数理统计方法。

人们在实验中观察到的定量指标称为观察值，影响观察值的条件称为因素，因素的不同状态称为水平。 一个因素可能有多个水平。

在一次实验中，可以获得一系列不同的观察结果，其中一些是由于不同的处理方法或不同的条件引起的，称为因素效应。 有些是误差引起的，称为实验误差。 方差分析的主要工作是根据引起变异的不同原因，将测量数据的总变异分解为因子效应和实验误差，并对其进行定量分析，比较各种原因在总变异中的重要性，作为统计推断的基础。 依据。

例如，我们有四种不同配方生产的组件，我们想判断它们的使用寿命是否存在显着差异。 在这里，配方就是影响元件使用寿命的因素，四种不同的配方就变成了四个等级。 可以通过方差分析来判断。

3.判别分析

判别分析是一种用于分类的统计方法。 让我举一个判别分析的例子。 如果要判断一个人有没有心脏病，可以拿一批没有心脏病的病人，测一些指标的数据，再拿一批有心脏病的病人，测同一个指标的数据，用对这些数据建立判别函数，并找到相应的临界值。

此时，对于需要判别的患者，还是测量同一个指标的数据，带入判别函数，得到判别分数和临界值，进而判断此人是否属于对于患有心脏病的人群。

4.聚类分析

聚类分析也是一种分类的统计方法，可以用来对样本进行分类，也可以用来对变量进行分类。 我们经常使用系统聚类方法。 首先把n个样本当成n个类，然后把最接近的两个类合并成一个新的类，我们得到n-1个类，然后找到最接近的两个类合并成n-2个类，以此类推，最后所有样本属于一类，将上述过程画成图。 图中可以看出，当分成几类时，每一类都有哪些样本。

例如，对中国31个省的经济发展进行分类，可以收集每个地区的经济指标，如GDP、人均收入、物价水平等，进行聚类分析，得到不同类别下如何分类。

5.主成分分析

主成分分析是一种数据降维的统计分析方法，可以从数据中提取出一些共有部分，然后对这些共有部分进行分析处理。

在使用统计分析方法研究多变量题目时，过多的变量会增加题目的复杂性。 人们自然希望变量的数量越少，获得的信息越多。 在很多情况下，变量之间存在一定的相关性。 当两个变量之间存在一定的相关性时，可以说明这两个变量反映了该主题的信息存在一定的重叠。

主成分分析是对原先提出的所有变量，删除冗余变量（关系密切的变量），建立尽可能少的新变量，使这些新变量成对不相关，而这些新变量都反映了课题的信息方面应尽可能保持原样。

最经典的方法是用F1（选择的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表示，即Var(F1)越大，F1包含的信息越多。 因此，在所有线性组合中选出的F1应具有最大的方差，故称F1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原P个指标的信息，则考虑选择F2来选择第二个线性组合。 为了有效反映原始信息，F1已有的信息不需要再次出现在F2中，用数学语言表达是要求Cov(F1,F2)=0，则称F2为第二主成分，而以此类推，可以构造出第三、第四、……、第P个主成分。

六、因素分析

因子分析是主成分分析的推广和发展，也是多元统计分析中的一种降维方法。 因子分析将多个变量组合成少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相关性。

在主成分分析中，每个原始变量在主成分中占据一定的分量，这些分量（载荷）的大小分布之间没有明确的分界线，因此无法明确表达哪个主成分代表哪个原始变量，也就是说，提取出来的主成分并不能清楚地解释它们所代表的意义。

因子分析解决 PCA 解释障碍的方法是通过因子轴旋转。 因子轴的旋转可以重新分配原始变量对公共因子（主成分）的载荷，使原始变量对公共因子的载荷分为两个层次，使得公共因子（主成分） ) 可以用载荷较大的原始变量来解释。 上述过程解决了主成分分析的实际意义解释障碍。

例如，为了了解学生的学习能力，观察了很多学生的数学、语文、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等学科的成绩。 为了解决这个问题，可以建立一个因子模型，用几个不相关的公共因子来表示原始变量。 我们还可以根据它们对原始变量的负载来命名公因子。

例如，公共因素对英语、政治和历史变量的负载很大。 由于这些课程需要大量的记忆，我们可以将其命名为记忆因素。 以此类推，我们可以得到几个可以评价学生学习能力的因素，假设有记忆因素、数学推导因素、计算能力因素等。

接下来可以计算每个学生的每个公因子的得分，根据每个公因子的方差贡献率计算总因子得分。 通过因子分析，可以对学生各方面的学习能力有一个直观的了解。

7. 典型相关分析

典型相关分析也用于数据降维，用于研究两组变量之间的关系。 它分别提取两组变量的主成分。 从同一组内提取的主成分彼此不相关。 从两组中提取的主成分的相关性用于描述两组变量的整体线性相关性。

对应分析和典型相关分析哪个更简单？

典型相关分析很简单。 与典型相关分析相比，典型相关分析的内容简单易懂，因此典型相关分析简单。 典型相关分析是一种多变量方法，它利用综合变量对之间的相关性来反映两组指标之间的整体相关性。 统计分析方法。

典型相关分析的系数计算方法

(1) 总体典型变量和典型相关系数从上一节的数学描述我们知道典型相关分析希望找到a和b使ρ最大化，但是由于随机变量在乘以常数时并不会改变它们的相关系数，为了防止不必要的结果重复，最好的限制是使Var U 1 和Var V 1。

因此，我们的问题转化为在Var U 1 和Var V 1 的约束下，寻找非零常数向量a和b，使得相关系数Corr UV a ′ ∑ 12 b 达到最大值。 根据数学分析中条件极值的计算方法，引入拉格朗日()乘数，问题转化为：求λ ν φ aba ′ ∑ 12 b 2 a′∑ 11 a 1 2 b′∑ 的极值11 b 1 大值点，其中λ ν 是拉格朗日乘数。

根据求极值的必要条件，求φ对a、b的偏导数，且偏导数为零，得极值条件为： φ a ∑12 b λ ∑11 a 0 φ ∑ a ν ∑ b 0 b 21 22 将上式分别乘以 a ′ 和 b ′，得到 a ′ ∑12 b λa ′∑11 a λ b′ ∑ 21 a νb′ ∑22 b ν 又因为 a ′ ∑12 b′ b ′ ∑ 12 a, λ ν a′ ∑ 12 bρ ，说明λ的值是线性组合U和V之间的相关系数。

因此，上式可写为： λ ∑11 a ∑12 b 0 ∑ 21 a λ ∑22 b 0 解方程时，先用 ∑ ∑12 1 22 乘以上面第二个方程，将第一个方程代入得到 ∑ 12 ∑ 1 ∑ 21 λ2 ∑11 a 0 22 同理将 ∑ ∑ 21 1 11 乘以上面第一个公式代入第二个公式得到 ∑ 21 ∑ 111 ∑ 12 λ2 ∑22 b 0 将公式乘以 ∑ 1 11 和 ∑ 1 22 分别得到 ∑ 1 11 ∑ ∑ ∑ 12 1 22 21 λ2 a0 ∑1 ∑ 21 ∑ 11 ∑ 12 λ2 b 0 22 1 让 A ∑ ∑ ∑ ∑ 1 11 12 1 22 21 B ∑ ∑ ∑ 1 22 21 1 11 12 Then Aa λ a 2 Bb λ2 b shows that λ is not only the of A, but also the of B, and also shows that the a and b are 2 ​​ The of λ. 2 , to the proof, the ​​of A and B also have the :

(1) A and B have the same non-zero , and the of equal non-zero ​​is equal to p.

(2) The ​​of A and B are non-.

(3) All ​​of A and B are 0 and 1. to the above, we know that λ ν a ′ ∑12 b ρ , so λ is the the U and V. And the is to reach the , it is to it as a , so the root λ1 of the λ1 of the A or B is taken.

As the , the two a 2 2 1 1 and b to the λ1 are: U 1 a ′ 1 X and V1 b′ 1Y This is the first pair of to be , that is, the first A pair of that have the λ1 among all U and V. If the p non-zero of A or B are found (p is the rank of ∑12, here is pq), set λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λ2 ≥ 0 2 2 p 1 2 and the is With aa L ak and b 1 b 2 L bk , k pairs of can be : U 1 a11 X 1 a 21 X 2 L a p1 X p 2 2 2 U 2 a1 X 1 a 2 X 2 L ap X p M kk U p a1 X 1 a 2 X 2 L a pk X p and V1 b11Y1 b21Y2 L bq1Yq 2 2 2 V2 b1 Y1 b2 Y2 L bq Yq M kk V p b1 Y1 b2 Y2 L bqk Yq Their is λ1 ≥ 2 ≥

Steps in

The steps of a are as :

The of the data has an : the two sets of data obey the joint .

The first step is to test the the two sets of (to a ratio ).

the of (just look at the P value to the )

the using .

a .

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In order to study the two of X= (X1, ...,Xn) and Y= (Y1, ...,Ym), a to is . Among the two of , A of are to form a index, and the the two of is by the the two of . These are .

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